Constructive Mathematics (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

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STEM-Desenvolvimento Científico

   

Tem aparecido na mídia, cada vez mais nos últimos meses, de entidades governamentais e científicas, referência à expressão STEM (sigla em inglês para science, technology, engineering, mathematics).  Esta expressão aparece  em um contexto de investimentos para  revitalização das ciências diante dos desafios tecnológicos e econômicos e concorrência internacional que se está a deparar.

      Ciências refere-se às ciências naturais, ciências da vida e biomédicas, ciências atmosféricas, ciências espaciais, ciências de materiais, etc, tais como Biologia, Química, Física, Meteorologia, Oceanografia, Bioquímica, etc.  Tecnologia, Engenharia, e Matemática, principalmente Matemática Aplicada e Estatística complementam o quarteto STEM. Observe-se que as humanidades e ciências sociais (Direito, Artes, Filosofia, Política, Economia, Sociologia, etc)  são excluídas da definição de STEM, não obstante sua importância.

      Observe-se ainda como os quatro componentes de STEM atuam interativamente para o desenvolvimento da Ciência, para obtenção de resultados. As Ciências dependem de observações e medições, que são obtidas com equipamentos que são desenvolvidos por engenheiros e técnicos, com certas tecnologias, e dados obtidos são analisados estatisticamente ou estudados com modelos matemáticos e recursos computacionais. Novas soluções geram novas perguntas que precisam ser respondidas com novos experimentos, do que se obtém novas observações e medidas, e assim por diante.

As Leis da Física

    As leis da Física não podem ter criado o Universo porque as leis da Física só podem existir dentro de um Universo preexistente. Não faz sentido atribuir a criação de um objeto a um elemento que depende do próprio objeto para existir. Por exemplo, a força de gravidade atinge o equilíbrio “térmico” em uma dada região do Universo, e, a partir daí, molda a região do Universo ao seu redor. Mas esta força só pode existir dentro do Universo preexistente.

    As leis da Física, conforme o enunciado que se lhe dão, não são estáticas, podem mudar. Por exemplo, em situações extremas como em uma grande explosão do tipo big bang. Novas evidências mostram que algumas constantes tradicionais da Física não são constantes mas variam, são “variáveis”. A teoria de João Magueijo sobre a variabilidade da velocidade da luz é um exempo de que o Universo pode ser mais complicado do que se imagina.

    Assim, dada a mutabilidade do Universo, inclusive com intervenção de seres inteligentes, faz com que o Universo seja um conceito complexo, e, assim, todo discurso sobre o Universo também tem de ser a fortiori complexo. Discurso simples não consegue explicar objeto complexo.

O Universo e Sua Origem ou Criação

     Eu acredito que o Universo sempre existiu. Não consigo imaginar um início do Universo, a não ser, por convenção; início relativo a uma linguagem, e linguagem imperfeita. Esta posição, a de Universo sem início, não é a defendida  pela maior parte dos cientistas, nem  pela Igreja. Big bangs, se existirem, existem dentro do Universo, não podem criá-lo.

     Toda questão sobre a origem do Universo só pode ser definida dentro de uma linguagem, e, a partir da adoção de uma teoria sobre o início, ou de falta de início, cria-se uma nova linguagem.  Parece que as pessoas se sentem confortáveis com a idéia de que o Universo tenha um início. Mas  a afirmação de que o Universo tem um início, não só não resolve o problema de se conhecer o Universo, como cria outro problema, o de explicar a causa e o causador do início do Universo.  Um Universo sempre existente prescinde de uma causa e de um causador para o seu início.

     Se houvesse um início, onde ficava o Criador no Universo no momento da criação? Não pode ficar dentro, pois como pode ter criado o Universo dentro do próprio Universo? Veja bem que o Criador pode moldar, dar forma, conduzir, comandar, criar partes dentro do Universo. Também não pode ficar fora do Universo, pois como poderia ter entrado do Universo, a ponto de viver nele, e também seu Filho? Mesmo porque, a parte de fora do Universo em que estava também era algum lugar, e, portanto, deve, numa linguagem racional, fazer parte do Universo.  Assim, a idéia de um início do Universo praticamente exclui a idéia de um Criador.

    A afirmação de que o Universo prescinde de um Criador, sendo que um Criador existe, é totalmente ilógica, incoerente, arrogante e imprecisa, pois o Criador existente não pode ser ignorado, nem eliminado, e, além disso, é justamente o Criador que determina a linguagem que define o significado do termo criação. Se inexistente, inventa-se facilmente um. Neste caso, neste contexto linguístico, a Criação pode ter um início.

    Não se pode desconsiderar uma parte do Universo e continuar a chamá-lo de Universo. A parte está contida no todo; e uma parte estrita está contida e é diferente do todo.

   Outra acepção do termo do termo criação ainda é possível, a da criação de algo parcial, não universal. Porém, neste caso, não se está a falar em Universo.  A Bíblia diz que Deus criou os céus e a terra, e que criará novos céus e nova terra. Creio que se trate de parte do Universo.

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O Universo

     O conceito de criação do Universo deve ser entendido no sentido de transformação e modelamento, de moldar, e não no sentido de criação a partir do nada. Assim, a idéia de um Criador é plenamente verossímil, ainda mais diante do testemunho da existência humana, que sendo transformador e modelador do seu entorno, tem potencial para ser transformador e modelador de outros astros do Universo.  Por mais tempo que isto leve, diante da finitude material, embora não espacial, do Universo,  a idéia de transformação e modelamento faz-se natural.

     A partir do instante que um ser inteligente transforme e modele o Universo, este passa a ser ser imediata extensão da sua inteligência, e inextricável da sua personalidade.  A partir desse instante, todo o discurso razoável passa a ser refrátário à frases que dissociem o Criador do Universo criado. Por exemplo, não faz sentido, nesse contexto, frases como “O Universo existe sem o Criador”. Ora, o Universo só é Universo com o Criador, pois foi formado por Ele. Como se referir ao Universo sem o Criador?  Impossível dentro da atividade racional.

Princípio da Boa Ordem

    Há alguns axiomas da Matemática Clássica,  não-construtivista, que considera objetos que não podem ser construídos, nem com algoritmo finito nem com algoritmo infinito enumerável. Pode-se pensar que essa abstração seja uma manifestação da “beleza” da Matemática, ou, simplesmente manifestação de temerariedade científica. Em todo caso, parece-me que a consequência dessa abstração não seja muito frutífica, pois não conheço nenhum resultado prático importante decorrente de tais teorias abstratas que não sejam obtidos por matemática construtivista.  Um exemplo é o axioma da escolha, tratado em uma outra postagem. Outro exemplo, tratado a seguir, é o do Princípio da Boa Ordem, tão controvertido quanto o axioma da escolha, lema de Zorn, e outros. Em último caso, esses axiomas controvertidos podem ser inseridos no enunciado de teoremas, segundo a conveniência, sem serem admitidos como axiomas da teoria geral. Ao serem admitidos no corpo de axiomas da teoria geral, passam a definir o que é e o que não é verdade absoluta, e o estrago é total à Matemática que definem. Como mentira bem contada, tem aparência de verdade, sendo válidos para os casos de conjuntos finitos e para o conjunto dos números naturais.

   O Princípio da Boa Ordem afirma que todo conjunto pode ser bem ordenado. Isto significa que para cada conjunto X existe uma relação de ordem R (pode-se pensar na relação de ordem <= da aritmética dos números inteiros, como exemplo) tal que (X,R) é totalmente ordenado (i.e., para todos x,y em X,  xRy ou yRx) e todo subconjunto Y de X contém um elemento minimizante b (i.e., bRx para todo elemento x de Y).

   Por exemplo, o conjunto dos números naturais N= {0,1,2,3,…} é bem ordenado pela relação de ordem <=, menor ou igual. Como  N é limitado inferiormente, todo subconjunto de N contém elemento mímino, que é, em particular, elemento minizante.

   Para conjuntos com cardinalidade mais elevada, não é nada óbvio como se define uma relação de ordem que faça com que esse conjunto seja bem ordenado. Pode mesmo acontecer de não haver nenhum algoritmo finito ou infinito enumerável para a definição de uma relação de ordem adequada para uma boa ordem. Além do mais, considerando-se o conjuntos dos números inteiros Z, com cardinalidade alefe zero, e o operador P, das partes de um conjunto, constrói-se  o conjunto P(Z) com cardinalidade alefe um, o conjunto P(P(Z)) com cardinalidade alefe dois, o conjunto P(P(…(P(Z))…), n vêzes, com cardinalidade alefe n, e assim por diante.

   Outro fato que cabe notar é como a simplicidade da teoria (veja a axiomática ZF a seguir) destoa da complexidade dos teoremas da Matemática Clássica, em especial da Topologia, da Análise Funcional e da Álgebra Abstrata, provados com a sua adoção.

   Axiomática Zermelo-Fraenkel com o Axioma da Escolha, que é uma axiomática padrão da Matemática Clássica:

  (1) Axioma de Existência : Existe um conjunto sem nenhum elemento. (conjunto vazio)

  (2) Se todo elemento de X for elemento de Y, e se todo elemento de Y for elemento de X, então X=Y.

(3) Seja P(x) uma propriedade. Para cada A existe B tal que x pertence a B se, e somente se, x for elemento de A e P(x) (x satisfaz à propriedade P).

  (4) Axioma do Par: Para cada A e B existe C tal que x pertence a C se, e somente se, x=A ou x=B.

  (5) Axioma da União: Para cada S existe U tal que x é elemento de U se, e somente se, x for elemento de A, para algum A elemento de S.

  (6) Axioma das Partes: Para cada S existe P tal que x é elemento de P se, e somente se, x estiver contido em S.

  (7) Existe um conjunto indutivo (I é um conjunto indutivo se 0 está em I, e para cada x em I, S(x)=x união com {x}, o sucessor de x,  também estiver em I).

  (8) Seja P(x,y) uma propriedade tal que para cada x existe um único y para o qual P(x,y) valha. Para cada A existe B tal que para cada x em A existe y em B para o qual P(x,y) valha.

  (9) Axioma da Escolha: Toda coleção de conjuntos admite uma função escolha.

P.S.: Esta e outras axiomáticas podem ser obtidas em qualquer livro de Teoria de Conjuntos. Veja a axiomática GNB.